Eigenschaften kompakter Mengen: Warum kompakte Mengen cool sind

Abbildung: Eigenschaften kompakter Mengen

Wie beweist man, dass eine Menge kompakt ist?

Um zu beweisen, dass eine Menge \( K \) kompakt ist, reicht es aus, einen der folgenden Aussagen zu beweisen:

• Jede offene Überdeckung \( \bigcup_{i \in I} O_i \) von \( K \) (also alle \( O_i \) sind offen und \( K \subseteq \bigcup_{i\in I} O_i \)) besitzt eine endliche Teilüberdeckung (es gibt eine endliche Menge \( J\subseteq I \) mit \( K\subseteq \bigcup_{j\in J} O_j \)).

  Beispiel: Die Menge \( \{1,\,2\} \) ist kompakt. Sei nämlich \( \bigcup_{i \in I} O_i \) eine offene Überdeckung von \( \{1,\,2\} \), so gibt es eine Menge \( O_a \) der Überdeckung mit \( 1\in O_a \) und eine Menge \( O_b \) der Überdeckung mit \( 2\in O_b \) (es ist \( a,\,b\in I \)). Damit ist \( \{1,\,2\}\subseteq \left(O_a \cup O_b\right) \), also \( O_a \cup O_b \) ist eine endliche Teilüberdeckung von \( \{1,\,2\} \).

• \( K \) ist eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Teilmenge.

  Beispiel: Sei \( A \subseteq \R \) eine beliebige Menge. Dann ist die Menge \( [1,2] \cap A \) eine abgeschlossene Menge (als Schnitt zweier abgeschlossener Mengen) und eine Teilmenge der kompakten Menge \( [1,2] \). Damit ist \( [1,2] \cap A \) kompakt.

• \( K \) ist beschränkt und abgeschlossen und die Grundmenge ist ein endlicher, reeller und normierter Vektorraum.

  Beispiel: Die Menge \( V=\{f:\,[0,1]\rightarrow\R:\,x\mapsto ax^2+bx+c\,|\, a,b,c\in\R\} \) aller reellen Polynome auf dem Intervall \( [0,1] \) ausgestattet mit der Supremumsnorm \( \|\cdot\|_\infty \) ist ein endlicher (Dimension ist 3), reeller und normierter Vektorraum. Die Menge \( \{f\in V\,|\, \|f\|_\infty \le 4\} \) aller Polynome mit Supremumsnorm kleiner gleich \( 4 \) ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von \( V \) und damit kompakt.

• \( K \) ist Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung.

  Beispiel: Sei \( C[0,2] \) der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem Definitionsbereich \( [0,2] \) ausgestattet mit der Supremumsnorm \( \|\cdot\|_\infty \). Die Menge \( \{f\in C[0,2]\,|\,f(x)=ax^2;\,a\in[-1,1]\} \) ist das Bild des kompakten Intervalls \( [-1,1] \) unter der stetigen Abbildung \( g: \R \rightarrow C[0,1] \) mit \( g(a) = \left[\text{Funktion } f \text{ mit } f(x)=ax^2\right] \) und damit kompakt. (\( g \) ist stetig wegen \( \|g(a) - g(b)\|_\infty = \|ax^2 - bx^2\|_\infty = \|(a-b)x^2\|_\infty = |a-b| \|x^2\|_\infty \le 4 |a-b| \), so dass \( g \) sogar Lipschitz-stetig zur Lipschitzkonstanten 4 ist).

• \( K \) ist kompakt bzgl. einer beliebigen Grundmenge (Die Eigenschaft der Kompaktheit ist unabhängig von der Grundmenge).

  Beispiel: \( [1,2] \) ist kompakt bezüglich jeder Grundmenge.

• Die Grundmenge ist ein metrischer Raum und jede Folge von \( K \) besitzt eine konvergente Teilfolge.

  Beispiel: Die Menge \( \{1,\,2\} \) ist kompakt. Sei \( \folge{x_n} \) eine Folge aus \( \{1,\,2\} \), so besitzt \( \folge{x_n} \) entweder unendlich viele Folgenglieder gleich \( 1 \) oder unendlich viele Folgenglieder gleich \( 2 \). Im ersten Fall besitzt \( \folge{x_n} \) eine Teilfolge, welche konstant \( 1 \) und damit konvergent ist und im zweiten Fall eine konvergente Teilfolge konstant \( 2 \). Also besitzt jede Folge \( \folge{x_n} \) eine konvergente Teilfolge, was beweist, dass \( \{1,\,2\} \) kompakt ist.

Um zu beweisen, dass \( N \) keine kompakte Menge ist, reicht es aus einen der folgenden Aussagen zu beweisen:

• \( N \) ist nicht beschränkt.

  Beispiel: Die Menge \( \N \) ist nicht beschränkt und damit nicht kompakt.

• \( N \) ist bzgl. einer beliebigen Grundmenge nicht abgeschlossen.

  Beispiel: Die Menge \( \Q \) ist in der Grundmenge \( \R \) nicht abgeschlossen, weil es eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert. Damit ist \( \Q \) in \( \R \) nicht kompakt, also ist \( \Q \) auch bzgl. der Grundmenge \( \Q \) nicht kompakt.

• Es gibt eine offene Überdeckung von \( N \), welche keine endliche Teilüberdeckung besitzt.

  Beispiel: \( \bigcup_{z\in\Z} B_1(z) \) ist eine offene Überdeckung von \( \R \). Da jede ganze Zahl \( z_0 \) nur in dem offenen Ball \( B_1(z_0) \) enthalten ist, kann es keine endliche Teilüberdeckung von \( \R \) geben. Wenn man nämlich einen der Bälle \( B_1(z_0) \) der Überdeckung \( \bigcup_{z\in\Z} B_1(z) \) wegnimmt, so enthält die Restüberdeckung \( \bigcup_{z\in\Z; z\ne z_0} B_1(z) \) nicht mehr die ganze Zahl \( z_0 \). Damit ist \( \R \) nicht kompakt.