Nutze die Macht der Analogie
Viele dir bekannte Definitionen aus der Analysis 1 kannst du auf Folgen in metrischen und normierten Räumen übertragen:
Definition für Konvergenz
- Definition in Analysis 1: \( \forall \epsilon > 0\, \exists N \in \N\, \forall n\ge N : |a-a_n|<\epsilon \)
- Definition für normierte Räume: \( \forall \epsilon > 0\, \exists N \in \N\, \forall n\ge N : \|a-a_n\|<\epsilon \)
- Definition für metrische Räume: \( \forall \epsilon > 0\, \exists N \in \N\, \forall n\ge N : d(a,a_n)<\epsilon \)
Definition für Cauchy-Folgen
- Definition in Analysis 1: \( \forall \epsilon > 0\, \exists N \in \N\, \forall n,m\ge N : |a_n-a_m|<\epsilon \)
- Definition für normierte Räume: \( \forall \epsilon > 0\, \exists N \in \N\, \forall n,m\ge N : \|a_n-a_m\|<\epsilon \)
- Definition für metrische Räume: \( \forall \epsilon > 0\, \exists N \in \N\, \forall n,m\ge N : d(a_n,a_m)<\epsilon \)
Homöomorphismus
Homöomorphismen sind nach Definition stetige, bijektive Funktionen zwischen zwei topologischen Räumen, deren Umkehrabbildung auch stetig ist. Wenn es einen Homöomorphismus zwischen zwei Räumen gibt, so bedeutet dies, dass sie bzgl. ihrer Topologie gleich sind.
Du hast vielleicht schonmal davon gehört, dass für einen Topologen eine Tasse gleich einem Dounat ist. Er meint damit, dass beide Objekte topologisch gleichwertig sind. Das heißt, dass es zwischen beiden Objekten einen Homöomorphismus gibt, welcher das eine Objekt in das andere umwandelt. Ein Homöomorphismus ist damit eine (stetige) Transformation. Wenn man in unserem Beispiel die Transformation auf die Tasse anwendet, erhält man einen Dounat und wenn man die Rücktransformation auf den Dounat anwendet, so erhält man wieder die Tasse. Hier eine Skizze zu diesem Sachverhalt:
Warum Homöomorphismen cool sind
Sei \( f : X \rightarrow Y \) ein Homöomorphismus. Es gilt:
-
Homöomorphismen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab.
\[ O_x = f^{-1}(O_y) \text{ ist offen } \Leftrightarrow O_y = f(O_x) \text{ ist offen } \] -
Homöomorphismen bilden abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab.
\[ A_x = f^{-1}(A_y) \text{ ist abgeschlossen } \Leftrightarrow A_y = f(A_x) \text{ ist abgeschlossen } \] -
Durch Homöomorphismen abgebildete Folgen haben gleiches Konvergenzverhalten.
\[ (x_n)_{n\in\N} = (f^{-1}(y_n))_{n\in\N} \text{ konvergiert} \Leftrightarrow (y_n)_{n\in\N} = (f^{-1}(x_n))_{n\in\N} \text{ konvergiert} \]
Topologie
Begriffe
- Umgebung - Eine Menge \( U \) ist Umgebung eines Punktes \( x \), wenn es ein Ball \( B_r(x) \) (\( r > 0 \)) um \( x \), der vollständig in \( U \) liegt (\(B_r(x) \subseteq U \)).
- Randpunkt - Ein Punkt \( x \) ist Randpunkt einer Menge \( U \), wenn in jeder Umgebung von \( x \) ein Punkt innerhalb und ein Punkt außerhalb von \( U \) liegt (Der Punkt \( x \) zählt dabei mit!).
- Offene Menge - enthält keinen seiner Randpunkte.
- Abgeschlossene Menge - enthält alle seine Randpunkte.
Achtung: Für die Begriffe der Abgeschlossenheit kommt es wesentlich auf die Grundmenge an (sie definiert dir, welche Elemente existieren - Wenn zum Beispiel die Grundmenge \( \Q \) ist, so musst du für die Aufgabe annehmen, dass es keine irrationalen Zahlen wie \( \sqrt{2} \) gibt).
- \( [0,\,1[ \) ist nicht offen bzgl. \( \R \) aber offen bzgl. \( [0,\,\infty[ \).
- \( [0,\,1[ \) ist nicht abgeschlossen bzgl. \( \R \) aber abgeschlossen bzgl. \( ]-2,\,1[ \).
Achtung 2: Es gibt Mengen die weder offen, noch abgeschlossen sind (Bsp.: die Menge \( [0,\,1[ \) bzgl. \( \R \)). Es gibt Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind (Bsp.: die leere Menge ist in jeder Topologie offen und abgeschlossen).
Veranschaulichung
Überblick über die verschiedenen Arten von Räumen
