Um zu zeigen, dass ein Raum \(X\) vollständig ist, reicht es, wenn du einen der folgenden beiden Aussagen beweist (beide Aussagen sind äquivalent):

• Jede Cauchy-Folge \(\folge{x_n}\) aus \(X\) ist eine konvergente Folge. Dies bedeutet, dass du für jede Cauchy-Folge \(\folge{x_n}\) einen Wert \(x\in X\) finden musst, so dass \(x\) Grenzwert der Folge \(\folge{x_n}\) ist.

• \(X\) ist eine abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen Raums \(Y\).

  Beispiel: Der Raum \([0,1]\) mit der Standardmetrik ist vollständig, da \([0,1]\) eine abgeschlossene Teilmenge des vollständigen Raums \(\R\) ist.

Um zu zeigen, dass ein Raum \(X\) nicht vollständig ist, reicht es aus, wenn du einen der folgenden Aussagen beweist (beide Aussagen sind äquivalent):

• Es gibt eine Cauchy-Folge \(\folge{x_n}\) aus \(X\), die nicht in \(X\) konvergiert.

• \(X\) ist in einem beliebigen größeren Raum \(Y\) nicht abgeschlossen.

  Beispiel: Der Raum \((0,1]\) mit der Standardmetrik ist nicht vollständig, da \((0,1]\) keine abgeschlossene Teilmenge des Raums \((0,1]\subseteq \R\) ist.

  Beweis: Sei im Folgendem \(Y\) ein Oberraum von \(X\), wenn \(X\) und \(Y\) Räume und \(X\subseteq Y\) ist.

  Alle vollständigen Räume sind in jeden ihrer Oberräume abgeschlossen. Sei dazu \(Y\) ein beliebiger Oberraum von \(X\) und \(\folge{x_n}\) eine in \(Y\) konvergente Folge, deren Folgeglieder alle in \(X\) liegen. Da \(\folge{x_n}\) konvergiert, ist \(\folge{x_n}\) eine Cauchy-Folge und konvergiert damit in \(X\), weil \(X\) vollständig ist. Damit enthält \(X\) die Grenzwerte aller konvergenten Folge, deren Folgeglieder alle in \(X\) liegen. Dementsprechend ist \(X\) (in \(Y\)) abgeschlossen.

  Da aus Vollständigkeit einer Menge ihre Abgeschlossenheit in jeden Oberraum folgt, ist die Abgeschlossenheit einer Menge ein notwendiges Kriterium für ihre Vollständigkeit. Wenn eine Menge also in einer Obermenge nicht abgeschlossen ist, so kann sie insbesondere nicht vollständig sein.