Zusammenfassung
In dieser Bachelorarbeit werde ich dir eine alternative Theorie der Analysis vorstellen, die ich "\(\varepsilon\)-ungefähre Analysis" nennen möchte. Hierzu werde ich zunächst die Abstandsrelation \(\approx_{\le \varepsilon}\) einführen, die definiert, wann zwei Zahlen ungefähr gleich sind oder (anders ausgedrückt) wann der Abstand zweier Zahlen infinitesimal ist. Dazu definiere ich \(x\approx_{\le \varepsilon} y :\Leftrightarrow |x-y|\le \varepsilon\), wobei \(\varepsilon\) eine nicht negative reelle Zahl ist.
Mit Hilfe dieser neuen Relation \(\approx_{\le \varepsilon}\) werde ich eine neue Theorie der Analysis formulieren. Hierzu werde ich untersuchen, wie die in der Analysis wesentlichen Konzepte der Konvergenz, Stetigkeit, Differentiation und Integration mit Hilfe der Relation \(\approx_{\le \varepsilon}\) definiert werden können. Wesentliche Eigenschaften dieser neuen Definitionen werde ich in dieser Bachelorarbeit beweisen. Dabei ist es mein Ziel, eine alternative Variante des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für meine Theorie zu finden.
Außerdem werde ich Zusammenhänge zwischen der \(\varepsilon\)-ungefähren Analysis und der heutzutage in den Erstsemestlervorlesungen der Universitäten gelehrten Analysis untersuchen und darlegen. Es wird sich zeigen, dass es durchaus starke Verbindungen zwischen diesen beiden Theorien der Analysis gibt und beide Theorien gut miteinander harmonieren.