Extremstellenberechung ohne Nebenbedingungen

Zutaten

• eine Funktion \( f:\R^n\rightarrow\R \)

Rezept

1. Gradient \( \nabla f \) von \( f \) bestimmen.

   \[ \begin{align} \nabla f = \left( \begin{matrix} \partial_1 f \\ \vdots \\ \partial_n f \end{matrix} \right) \end{align} \]

2. Hesse-Matrix \( \mathrm H_f \) von \( f \) bestimmen.

   \[ \begin{align} \mathrm H_f = \left( \begin{matrix} \partial_1 \partial_1 f & \dots & \partial_1 \partial_n f \\ \vdots & & \vdots \\ \partial_n\partial_1 f & \dots & \partial_n \partial_n f \end{matrix} \right) \end{align} \]

3. Kritische Stellen von \( f \) berechnen.

   Setze \( \nabla f = 0 \) und berechne die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems. Die so berechnete Menge ist die Menge der kritischen Punkte.

4. Überprüpfe die kritischen Punkte auf Extremstellen. Ist \( \vec x \) ein kritischer Punkt, so ist

   • \( \mathrm H_f(\vec x) \) positiv definit \( \rightarrow \) \( \vec x \) ist Minimum
   • \( \mathrm H_f(\vec x) \) negativ definit \( \rightarrow \) \( \vec x \) ist Maximum
   • \( \mathrm H_f(\vec x) \) indefinit \( \rightarrow \) \( \vec x \) ist keine Extremstelle

Extremstellenberechung mit Nebenbedingungen

Zutaten

• eine Funktion \( f:\R^n\rightarrow\R \)
• eine Nebenbedingung \( g(\vec x) = c \), wobei \( g:\R^n\rightarrow \R \) ist

Rezept

1. Lagrangefunktion \( L \) aufstellen.

   Die Langrangefunktion ist definiert durch \( L:\R^{n+1}\rightarrow \R: (\vec x, \lambda) \mapsto f(\vec x) + \lambda (g(\vec x) - c) \).

2. Gradient \( \nabla L \) der Langrangefunktion berechnen

3. Kritische Stellen berechnen.

   Setze \( \nabla L = 0 \) und berechne die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems. Die so berechnete Menge ist die Menge der kritischen Stellen.

4. Berechne die Funktionswerte von \( f \) an den kritischen Stellen und argumentiere, welche dieser kritischen Punkte lokale Maximas und Minimas sind.