Eigenschaften zusammenhängender Räume

Figure: Übersicht zu den Eigenschaften zusammenhängender Räume

Beiweisverfahren zu zusammenhängenden Mengen

Wie beweist man, dass ein Raum \( X \) zusammenhängend ist?

• \( X \) lässt sich nicht in zwei disjunkte, nichtleere und offene Teilmengen zerlegen.
• \( X \) ist Bild einer zusammenhängenden Menge unter einer stetigen Funktion.
• \( X \) ist wegzusammenhängend.
• Die einzigen Teilmengen von \( X \), die bezüglich der Topologie von \( X \) gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, sind \( X \) und \( \{\} \).

Wie beweist man, dass ein Raum \( X \) nicht zusammenhängend ist?

• Es gibt zwei nichtleere und offene Teilmengen \( U,V\subseteq X \) mit \( X=U\cup V \).
• Es gibt eine Teilmenge von \( X \) ungleich \( X \) und \( \{\} \), die bzgl. der Toplogie in \( X \) offen und abgeschlossen ist.

Zum Begriff der Zusammenhangskomponente

Eine Zusammenhangskomponente eines Punktes \( a \) in einem topologischen Raum ist die Menge aller Punkte, die mit dem Punkt \( a \) stetig verbunden werden können. In der folgenden Skizze ist ein topologischer Raum eingezeichnet, welcher fünf Zusammenhangskomponenten besitzt:

Figure: Beispiele für Zusammenhangskomponenten verschiedener Punkte